để hai đường thẳng song song

Sáng 15/10, tại thành phố Huế (tỉnh Thừa Thiên - Huế) đã ngớt mưa, tuy nhiên nhiều tuyến đường thuộc trung tâm thành phố vẫn bị ngập. Mưa lớn khiến các tuyến đường như Nguyễn Huệ, Hùng Vương, Lý Thường Kiệt, Đống Đa bị ngập sâu. Nhiều phương tiện đi lại b, Hai đường thẳng song song với nhau. c, Hai đường thẳng trùng nhau. Bài 2: Cho hàm số y = mx + 4 và y = (2m - 3)x - 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là: a, Hai đường thẳng song song với nhau. b, Hai đường thẳng cắt nhau. c, Hai đường thẳng trùng nhau. d, Hai đường thẳng Đề bài Tìm trong thực tế các hình ảnh gợi về: a) Hai đuờng thẳng song song; b) Hai đường thẳng cắt nhau. Phương pháp giải - Xem chi tiết + 2 đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung + 2 đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng chỉ có … 1. Định nghĩa hai đường thẳng song song. - Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung. - Hai đường thẳng phân biệt hoặc căt nhau hoặc song song. 2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. + Nếu đường thẳng c cát hai đường thẳng a, b trong các - Dầm bầu dưới mở rộng đầu để đủ diện tích để bố trí neo, tăng lực nén chịu ứng suất cục bộ từ 0.8 -1H 15. Anh chị hãy cho biết cấp lan can mà anh chị thiết kế, với cấp lan can này lực ngang Ft bằng bao nhiêu? - Cấp lan can thiết kế cấp L3, Ft = 240kN. 16. Ich Möchte Einen Reichen Mann Kennenlernen. Bài viết này cung cấp thông tin về tính chất hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng song song là bài học cốt lõi của chương trình toán hình học lớp 7, và toán hình nói chung. Vì vậy nếu các em không hiểu được tính chất của hai đường thẳng song song thì rất khó làm những bài tập chứng minh trong toán hình. Sau đây là tổng hợp kiến thức về hai đường thẳng song song và bài soạn chi đang xem Chứng minh song song6 phương pháp chứng minh hai đường thẳng song songHai đường thẳng song songĐịnh nghĩa– Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.– Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.– Kí hiệu a // bTiền đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song– Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đi qua M và b // aTính chất hai đường thẳng song song– Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.– Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.– Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với hiệu nhận biết hai đường thẳng song song– Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau. – Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau. – Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau. Chứng minh hai đường thẳng song songPhương pháp 1. Chỉ ra hai góc so le bằng nhauPhương pháp 2. Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhauPhương pháp 3. Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhauPhương pháp 4. Chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. Phương pháp 5. Chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba. Phương pháp 6. Sử dụng tiên đề Ơ clitTrên thực tế với kiến thức học cao hơn sẽ có nhiều cách để chứng minh hai đường thẳng song song. Song, chúng tôi vận dụng với kiến thức toán học lớp 7 để nêu ra 6 phương pháp trên. Để mở rộng thêm kiến cho các em hơn, chúng tôi tách riêng 9 phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song nâng cao sau đây. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba so le, đồng vị.. Sử dụng tính chất của hình bình hành. Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành . Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song. Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng. Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản bài Hai đường thẳng song song lớp 7Trả lời câu 1 bài 4 trang 90 sgk toán 7 tập 1Xem hình 17 a, b, c. Đoán xem các đường thẳng nào song song với – Các đường thẳng song song với nhau làa song song với bm song song với lời câu 2 bài 4 trang 90 sgk toán 7 tập 1Cho đường thẳng a và điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Hãy vẽ đường thẳng b đi qua A và song song với Học sinh nhìn theo hướng dẫn và tự 24 trang 91 sgk toán 7 tập 1Điền vào chỗ trống … trong các phát biểu saua Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là …b Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì …GiảiĐiền vào chỗ trống như sau đáp án được bôi đậm. a Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a song song với 25 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho hai điểm A và B. Hãy vẽ một đường thẳng a đi qua A và đường thẳng b đi qua B sao cho b song song với tự vẽ các bước như sau – Vẽ đường thẳng a đi qua A bất kì.– Dùng eke vẽ đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a tại A.– Vẽ đường thẳng b đi qua B và vuông góc với c.– Khi đó ta được đường thẳng b đi qua B và song song với đường thẳng 26 trang 91 sgk toán 7 tập 1Vẽ cặp góc so le trong xAB, yBA có số đo đều bằng 120o. Hỏi hai đường thẳng Ax ,By có song song với nhau không ? Vì sao ?GiảiTa có AB cắt hai đường thẳng Ax và ByCó một cặp góc so le trong bằng nhau góc xAB = góc yBA = 120ºVậy Ax // By theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.Kiến thức áp dụng Dựa vào tính chất hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với 27 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho tam giác ABC. Hãy vẽ một đoạn thẳng AD sao cho AD = BC và đường thẳng AD song song với đường thẳng bước vẽ như sau – Vẽ đường thẳng d qua A và vuông góc với BC.– Vẽ đường thẳng Ax vuông góc với đường thẳng d tại A. Khi đó ta có được đường thẳng Ax song song với BC hai cặp góc so le trong tạo thành đều là góc vuông.– Trên đường thẳng Ax đặt đoạn thẳng AD có độ dài bằng độ dài đoạn thẳng BC. Ta được đoạn AD cần vẽ có 2 điểm D thỏa mãn.Bài 28 trang 91 sgk toán 7 tập 1Vẽ hai đường thẳng xx’, yy’ sao cho xx’ // yy’.GiảiCác bước vẽ như sau – Vẽ một đường thẳng xx’ bất kì.– Lấy điểm M tùy ý nằm ngoài đường thẳng xx’.– Vẽ qua M đường thẳng yy’ sao cho yy’ //xx’. Bài 29 trang 91 sgk toán 7 tập 1Cho góc nhọn xOy và một điểm O’. Hãy vẽ một góc nhọn x’Oy’ có O’x’ // Ox, O’y’ // Oy. Hãy đo xem hai góc xOy và x’O’y’ có bằng nhau hay không ?Giải – Từ O’ vẽ O’x’ // Ox– Từ O’ vẽ O’y’//Oy sao cho góc Giải bài 29 trang 92 Toán 7 Tập 1 Giải bài tập Toán 7 là góc được trường hợp hình vẽ dưới đây. Sau đó đo hai góc xOy và x’O’y’ ta thấy xOy = x’O’y’.Bài 30 trang 92 sgk toán 7 tập 1Đố. Nhìn xem hai đường thẳng m, n ở hình 20a hai đường thẳng p, q ở hình 20b có song song với nhau không ? Kiểm tra lại bằng dụng Theo hình vẽ thì m // n, p // q. – Cách kiểm tra Vẽ một đường thẳng tùy ý cắt p, q. Đo hai góc đồng vị hoặc góc so le trong tạo thành xem có bằng nhau không. Nếu hai góc bằng nhau thì hai đường thẳng p và q song song, còn nếu hai góc không bằng nhau thì hai đường thẳng p và q không song tập về hai đường thẳng song song nâng caoBài 1 Cho hình vẽ, trong đó góc AOB = 60o, Ot là tia phân giác của góc AOB. Hỏi các tia Ax, Ot và By có song song với nhau không? Vì sao?GiảiBài 2 Cho góc xOy = 30o và điểm A nằm trên cạnh Ox. Dựng tia Ax song song với Oy và nằm trong góc Tìm số đo góc xOyGiảiBài 3 Cho góc xOy = α, điểm A nằm trên tia Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo góc OAm để Am song song với hai trường hợpa Nếu tia Am thuộc miền trong góc xOyb Nếu tia Am thuộc miền ngoài góc xOyBài 4 Cho đường thẳng a và b cắt đường thẳng c tại A và B. Cho biết tổng của hai góc trong cùng phía với một góc so le trong với một trong hai góc này bằng 300° và trong hai góc kề bù có góc này bằng gấp đôi góc kia. Hai đường thẳng a và đường thẳng b có song song với nhau không? Vì sao?GiảiQua bài viết về Hai đường thẳng song song này, chúng tôi cũng một lần nữa chia sẻ rằng luôn mong muốn gửi gắm những kiến thức bổ ích nhất cho các em, giúp các em chuẩn bị hành trang vững chắc để chinh phục những đỉnh cao toán học và con đường tri thức phía trước. Mong rằng các em sẽ luôn ủng hộ để chúng tôi có thêm động lực để xây dựng trang web ngày càng phát triển. Bài viết trình bày định nghĩa, phương pháp chứng hai đường thẳng song song trong không gian và một số ví dụ minh họa điển hình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 2 đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm pháp chứng minh hai đường thẳng song song Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian, ta sử dụng một trong các cách sau đây + Cách 1. Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng. + Cách 2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba. + Cách 3. Dùng hệ quả Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $SAB$ và $SCD.$ b Đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt mặt phẳng $SAB$ tại $I.$ Chứng minh $AI$ song song $SB.$a Mặt phẳng $SAB$ chứa $AB$, mặt phẳng $SCD$ chứa $CD$ mà $AB // CD$ nên $St = mp SCD ∩ mp SAB$ với $St // AB // CD.$ b Trong mặt phẳng $SCD$, đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt $St$ tại $I.$ Do $St ⊂ mp SAB$ $⇒I ∈ mp SAB.$ Ta có $SI // CD$ và $SC // DI$ nên $SIDC$ là hình bình hành. Do đó $SI // = CD.$ Mà $CD // = AB$ nên $SI // = AB.$ Tứ giác $SIAB$ là hình bình hành nên $AI // SB.$Ví dụ 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$ và $AB > CD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB.$ a Chứng minh $MN$ song song $CD.$ b Tìm giao điểm $J$ của $SC$ và mặt phẳng $ADN.$ c $AN$ và $DJ$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh $SI // AB$ và $SA // IB.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN // AB$, mà $AB // CD$ nên $MN // CD.$ b Trong mặt phẳng $ABCD$, $AD$ cắt $BC$ tại $E.$ Trong mặt phẳng $SBC$, $NE$ cắt $SC$ tại $J.$ $J ∈ NE$ $⇒ J ∈ mp ADN.$ Vậy $J$ là giao điểm $SC$ và $ADN.$ c Ta có $AB ⊂ mp SAB.$ $CD ⊂ mp SCD.$ $AB // CD.$ $SI$ là giao tuyến của mặt phẳng $SAB$ và mặt phẳng $SCD.$ Vậy $SI // AB // CD.$ Ta có $SI // MN$ vì cùng song song với $AB$, mà $M$ là trung điểm $SA$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ASI.$ Do đó $\overrightarrow {SI} = 2\overrightarrow {MN} $ mà $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MN} $ nên $\overrightarrow {SI} = \overrightarrow {AB} .$ Vậy $ABIS$ là hình bình hành, suy ra $SA // IB.$Ví dụ 3 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ lần lượt là trọng tâm các $ΔBCD$, $ΔACD$, $ΔABD$, $ΔABC.$ Gọi $G$ là giao điểm $AA_1$ và $BB_1.$ Chứng minh a $\frac{{AG}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}.$ b $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng Gọi $I$ là trung điểm $CD.$ Trên mặt phẳng $IAB$, ta có $\frac{{I{B_1}}}{{IA}} = \frac{{I{A_1}}}{{IB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow {A_1}{B_1}//AB$ và $\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = 3$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1} + GA}} = \frac{3}{{3 + 1}} = \frac{{AG}}{{A{A_1}}}$ $1.$ b Tương tự, gọi ${G’} = A{A_1} \cap D{D_1}$, ta có $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $2.$ Tương tự, gọi $G” = A{A_1} \cap C{C_1}$, ta có $\frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{{GA}}{{A{A_1}}}$ $ \Rightarrow G \equiv G’ \equiv G”.$Ví dụ 4 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt trên $BC$, $SC$, $SD$, $AD$ sao cho $MN // SB$, $NP // CD$, $MQ // AB.$ a Chứng minh $PQ // SA.$ b Gọi $K$ là giao điểm $MN$ và $PQ.$ Chứng minh $SK // AD // BC.$a Do $MQ//AB \Rightarrow \frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{CM}}{{CB}}$ $1.$ Do $MN//SB \Rightarrow \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CN}}{{CS}}$ $2.$ Do $NP//CD \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $ \Rightarrow PQ///SA.$ b Mặt phẳng $SAD$ và $SBC$ đã có chung điểm $S.$ $K \in NM \Rightarrow K \in SBC.$ $K \in PQ \Rightarrow K \in SAD.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC.$ Ta có $AD \subset SAD$, $BC \subset SBC$, mà $AD//BC.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC$ thì $SK//AD//BC.$Ví dụ 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $OB.$ Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Tính tỉ số $\frac{{SI}}{{ID}}.$Trong mặt phẳng $ABCD$, gọi $E$ và $F$ là giao điểm của $AN$ với $CD$ và $BC.$ Trong mặt phẳng $SCD$, gọi $I$ là giao điểm của $EM$ và $SD.$ $I ∈ ME$ $⇒ I ∈ mp AMN.$ Vậy $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Ta có $BF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{BF}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{ND}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{OD + \frac{1}{2}OB}} = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{\frac{3}{2}OB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow BF = \frac{1}{3}AD$ $ \Rightarrow CF = \frac{2}{3}AD.$ Ta có $CF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{CF}}{{AD}} = \frac{2}{3}.$ Trong mặt phẳng $SCD$ vẽ $CJ//SD$ $J \in EI$. Ta có $\frac{{JC}}{{ID}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{2}{3}$ $1.$ $JC//SI$ $ \Rightarrow \frac{{CJ}}{{SI}} = \frac{{MC}}{{MS}} = 1$ $ \Rightarrow CJ = SI$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $\frac{{SI}}{{ID}} = \frac{2}{3}.$Ví dụ 6 Cho hình lập phương $ cạnh $a.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $C’B’$, $CC’$, $AA’.$ a Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thang cân. b Tính chu vi và diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $A’B’C’$ nên $MN//A’C’$ $1.$ Ta có $\overrightarrow {A’Q} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A’A} $ và $\overrightarrow {C’P} = \frac{1}{2}\overrightarrow {C’C} .$ Mà $\overrightarrow {A’A} = \overrightarrow {C’C} $ nên $\overrightarrow {A’Q} = \overrightarrow {C’P} .$ Do đó $A’QPC’$ là hình bình hành nên $PQ // A’C’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $PQ//MN.$ Ta có $\Delta A’MQ = \Delta C’PN$ $ \Rightarrow MQ = NP.$ Vẽ $MH$ và $NK$ vuông góc với $PQ.$ Ta có $\Delta MHQ = \Delta NKP$ nên $\widehat {MQH} = \widehat {NPK}.$ Do đó $MNPQ$ là hình thang Ta có $MN = \frac{{A’C’}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$ $PQ = A’C’ = a\sqrt 2 .$ $NP = MQ = \frac{a}{2}\sqrt 2 .$ Do đó chu vi tứ giác $MNPQ$ là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 + 2\left {\frac{a}{2}\sqrt 2 } \right = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}.$ Do $\Delta MQH = \Delta NKP$ nên $HQ = KP.$ Vậy $KP = QH = \frac{1}{2}PQ – HK$ $ = \frac{1}{2}PQ – MN$ $ = \frac{1}{2}\left {a\sqrt 2 – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$ Do tam giác $NPK$ vuông $ \Rightarrow N{K^2} = N{P^2} – K{P^2}$ $ = \frac{{{a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{6{a^2}}}{{16}}.$ Vậy diện tích tứ giác $MNPQ$ là $\frac{1}{2}NKMN + PQ$ $ = \frac{{a\sqrt 6 }}{8}\left {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.$Ví dụ 7 Cho tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $α.$ Gọi $Bx$, $Cy$ là hai nửa đường thẳng song song nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $α.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động trên $Bx$, $Cy$ sao cho $CN = 2BM.$ a Chứng minh $MN$ luôn qua một điểm cố định $I$ khi $M$, $N$ di động. b Lấy $E$ thuộc đoạn $AM$ với $EM = \frac{1}{3}AE$, $IE$ cắt $AN$ tại $F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q.$ Chứng minh $AQ$ song song $Bx$ và $Cy$, và mặt phẳng $QMN$ chứa một đường thẳng cố định khi $M$, $N$ di Trong mặt phẳng $Bx, Cy$, gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $BC.$ Do $MB // NC$ nên $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{NC}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow IB = 2IC$, suy ra $B$ là trung điểm $IC.$ Vậy $MN$ di động luôn qua $I$ cố định. b Ta có $Q \in BE \Rightarrow Q \in mpABM.$ $Q \in CF \Rightarrow Q \in mpANC.$ Vậy $AQ = mp ABM ∩ mp ANC.$ Mà hai mặt phẳng $ABM$ và mặt phẳng $ANC$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $BM$ và $NC.$ Do đó $AQ // BM // NC.$ Ta có $MB // AQ$ $ \Rightarrow \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{1}{3}.$ Gọi $K$ là giao điểm của $MQ$ và $BA$ ta có $\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow KB = \frac{1}{3}KA.$ Vậy $K$ cố định. Ta có $K ∈ MQ ⇒ K ∈ mp MNQ.$ $I ∈ MN ⇒ I∈ mp MNQ.$ Do đó mặt phẳng $QMN$ di động nhưng luôn chứa đường thẳng cố định $IK.$ [ads] Ví dụ 8 Cho tam giác $ABC.$ Từ $A$, $B$, $C$ vẽ các nửa đường thẳng song song cùng chiều $Ax$, $By$, $Cz$ không nằm trong mặt phẳng $ABC.$ Trên $Ax$, $By$, $Cz$ lần lượt lấy đoạn $AA’ = a$, $BB’ = b$, $CC’ = c.$ Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là giao điểm $B’C’$, $A’C’$, $A’B’$ với mặt phẳng $ABC.$ Gọi $G$, $G’$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’.$ a Chứng minh $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = 1.$ b Chứng minh $GG’ // AA’.$ Tính $GG’$ theo $a$, $b$, $c.$Ta có $CC’//BB’ \Rightarrow \frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{BB’}}{{CC’}} = \frac{b}{c}.$ $CC’//AA’ \Rightarrow \frac{{JC}}{{JA}} = \frac{{CC’}}{{AA’}} = \frac{c}{a}.$ $AA’//BB’ \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AA’}}{{BB’}} = \frac{a}{b}.$ Do đó $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1.$ b Gọi $H$, $H’$ là trung điểm $CB$ và $C’B’.$ $HH’$ là đường trung bình của hình thang $CC’B’B$ nên $HH’//BB’//AA’//CC’$ $1.$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}.$ $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ $ \Rightarrow \frac{{A’G’}}{{A’H’}} = \frac{2}{3}.$ Vậy $\frac{{AG}}{{AH}} = \frac{{A’G’}}{{A’H’}} \Rightarrow GG’//HH’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $GG’//AA’.$ Gọi $M$ là giao điểm $AH’$ và $GG’.$ Ta có $G’M//AA’ \Rightarrow \frac{{G’M}}{{AA’}} = \frac{{H’G’}}{{H’A’}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow G’M’ = \frac{a}{3}.$ Ta có $MG//HH’ \Rightarrow \frac{{MG}}{{HH’}} = \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow MG = \frac{2}{3}HH’$ $ = \frac{2}{3}\frac{{BB’ + CC’}}{2} = \frac{{b + c}}{3}.$ Do đó $GG’ = MG’ + MG = \frac{{a + b + c}}{3}.$Ví dụ 9 Cho hình chóp $ có đáy là hình thang $ABCD$ với đáy $AD$ và $BC$ có $AD = a$, $BC = b$ với $a > b.$ Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm $ΔSAD$, $ΔSBC$, $SB$ và $SC$ cắt mặt phẳng $ADJ$ tại $M$, $N$, $SA$, $SD$ cắt mặt phẳng $BCI$ tại $P$, $Q.$ a Chứng minh $MN$ song song $PQ.$ b Giả sử $AM$ cắt $BP$ tại $E$, $CQ$ cắt $DN$ tại $F.$ Chứng minh $EF$ song song $MN$ và $PQ.$ Tính $EF$ theo $a$ và $b.$a Ta có $I \in IBC \cap SAD.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset SAD}\\ {BC \subset IBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow SAD \cap IBC = PQ.$ Với $I∈PQ$ và $PQ//AD//BC.$ Tương tự $J \in JAD \cap SBC.$ $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset JAD}\\ {BC \subset SBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow JAD \cap SBC = MN.$ Với $J \in MN$ và $MN//AD//BC.$ Do đó $MN//PQ.$ b Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop E\limits^. \in AM \Rightarrow E \in AMND}\\ {E \in PQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow E \in AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {F \in DN \Rightarrow F \in AMND}\\ {F \in CQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow F \in AMND \cap BPCQ.$ Vậy $EF = AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {MN \subset AMND}\\ {PQ \subset BPCQ}\\ {MN//PQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow EF//PQ//MN.$ Gọi $K$ là giao điểm $EF$ và $PC.$ Ta có $EK//BC$ $ \Rightarrow \frac{{KE}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}.$ Do $I$ là trọng tâm tam giác $SAD$ và $PI//AD$ $ \Rightarrow \frac{{SP}}{{AS}} = \frac{2}{3}.$ Do $J$ là trọng tâm tam giác $SBC$ và $MJ//BC$ $ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow PM//AB$ $ \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}.$ Mà $\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}}$ $ = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{2}}} = \frac{2}{5}$ $ \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b.$ Tương tự $KF = \frac{2}{5}a.$ Vậy $EF = EK + KF = \frac{2}{5}a + b.$Bài tập tự luyện Bài tập 1 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $BC$, $AD$, $AC$, $BD.$ a Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành. b Chứng minh $MN$, $PQ$, $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi tập 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh bên $AD$, $BC.$ a Xác định giao tuyến $d$ của $SAB$ và $SCD.$ b Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAD$ và $SBC.$ Chứng minh $d // MN.$Bài tập 3 Cho hai hình bình hành $ABCD$, $ABEF$ không cùng nằm trên một mặt phẳng. a Chứng minh $CE // DF.$ b Gọi $M$, $N$ là hai điểm trên $AC$, $AD$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AD}} = m.$ Gọi $H$, $K$ là hai điểm trên $BF$ và $AF$ sao cho $\frac{{FK}}{{FA}} = \frac{{FL}}{{FB}} = n$ với $m,n \in 0;1$. Chứng minh $MN // KL.$ c Cho $m = \frac{2}{5}$ và $n = \frac{3}{5}$. Chứng minh $NK // DF.$Bài tập 4 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC.$ Gọi $R$ là điểm trên $BD$ sao cho $BR = 2RD.$ a Xác định $E$, $F$ là giao điểm của $RPQ$ với $CD$, $AD.$ b Tìm giao tuyến của $PQR$ và $ABE.$ c Chứng minh $R$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCE$ và $ACE.$ d Chứng minh $FR // PQ.$ e Tính tỉ số diện tích mà mặt phẳng $PQR$ chia cắt tam giác $ACD.$Bài tập 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$, $OB.$ a Tìm giao điểm $I$ của $SD$ và $AMN.$ b Tính $\frac{{SI}}{{ID}}.$Bài tập 6 Cho hình chóp $ có đáy là tứ giác lồi, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SC$, $SD.$ Chứng minh a $ME // AC$ và $NF // BD.$ b Ba đường thẳng $EM$, $NF$, $SO$ đồng quy. c Bốn điểm $M$, $N$, $E$, $F$ đồng tập 7 Cho hình chóp $ có đáy là hình chữ nhật. Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA.$ a Chứng minh tứ giác $MNEF$ là hình thoi. b Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Chứng minh $ME$, $NF$ và $SO$ đồng tập 8 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD.$ Lấy $E$ trên $AD$ $E ≠ A, D.$ a Xác định mặt cắt của tứ diện và $IJE.$ b Tìm vị trí của điểm $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình bình hành. c Tìm điều kiện của $ và vị trí $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình thoi. ta như hai đường thẳng song song, chỉ yêu mà chẳng chạm được tới nhau yu1512 pov drarry Câu hỏi Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt không cách nhau đúng hay sai Hãy xác định câu đúng, sai trong các câu saua Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt không cắt Hai đường thẳng song song thì không cắt Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt nhau, không trùng Hai đoạn thẳng song song là hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng phân biệt không cắt tiếp Xem chi tiết . Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau là hai đường thẳng song HAY SAI Xem chi tiết Hãy xác định câu đúng, sai trong các câu sau đâya. Hai đưòng thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm Hai đưòng thẳng song song thì không cắt Hai đường thẳng song song là hai đưòng thẳng không cắt nhau, không trùng Hai đoạn thẳng song song là hai đoạn thẳng không cắt Hai đoạn thẳng song song là hai đoạn thẳng nằm trên hai đưòng thẳng phân biệt không cắt nhauĐọc tiếp Xem chi tiết . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt nhau. ĐÚNG HAY SAI Xem chi tiết Trong các câu sau đây, nói về hai đường thẳng song song, câu nào đúng , câu nào sai?a Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng k có điểm chung ;b Hai đường thẳng song song là hai đường thangwrk cắt nhau ;c Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt k cắt nhau ;d Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng k cắt nhau, k chùng nhau. Xem chi tiết Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng ko cắt nhau, không trùng nhauCâu trên đúng hay sai mn mk cần gấp Xem chi tiết Bài tậpThế nào là hai đường thẳng song song? Trong các câu trả lời sau, hãy chọn câu đúnga/ Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt không cắt Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt nhau, không trùng nhau.T_T giúp mik với nhé , mik đang cần gấp lắm , mai mik phải NỘP cho cô rồi , !!!Đọc tiếp Xem chi tiết Thế nào là hai đường thẳng song songTrong các câu trả lời sau hãy chọn câu trả lời đùnga. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chungb. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt nhauc. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt không cắt nhaud. Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt nhau không trùng nhauĐọc tiếp Xem chi tiết Hai đường thẳng song song là A. Hai đường thẳng không cắt nhau B. Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung C. Hai đường thẳng có hai điểm chung D. Hai đường thẳng không trùng nhau Xem chi tiết Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc. Đang xem Phương trình 2 đường thẳng song song Cho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’ Hai đường thẳng vuông góc với nhau = đường thẳng song song với nhau a = a’ và b≠ b’.Hai đường thẳng cắt nhau a ≠ a’.Hai đường thẳng trùng nhau a = a’ và b = b’. Trong chương trình toán lớp 9, bên cạnh phần đại số thì hình học là một phần không kém quan trọng. Hình học hỗ trợ kỹ năng tư duy toán học tượng hình. Để học tốt toán cần tìm hiểu và ghi nhớ kỹ lưỡng các công thức. Hình học trong toán 9 Toán học là môn học quan trọng, cần được đầu tư kỹ lưỡng về thời gian học. Thời lượng làm bài tập chia đều cho khoảng thời gian trong ngày. Tìm kiếm thêm tài liệu để tham khảo, tìm hiểu bài tập để làm bổ sung. Bên cạnh đó kết hợp với nâng cao năng lực tự học tìm hiểu cái mới. Giải quyết các bài khó bằng phương pháp tự học, học nhóm. Lập nhóm để giúp nhau học tập hiệu quả hơn. Kết hợp vui chơi giải trí, thư giãn đầu óc. Lớp 9 là lớp cuối cấp, chuẩn bị bước vào kì thi vào lớp 10, hẳn sẽ gặp nhiều áp lực. Xem thêm Khóa Học Xuất Nhập Khẩu Hải Phòng Được Đánh Giá Uy Tín, Khóa Học Ngắn Hạn Nhưng các em chưa cần phải quá bận tâm về vấn đề này. Phía trước còn chặng đường dài học tập. Tập trung ôn luyện để chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp. Nắm vững kiến thức làm tiền đề cho các cấp học sau này. Dùng kiến thức để áp dụng trong cuộc sống hằng ngày. Bên cạnh đó, học tập không bao giờ là đủ, không chỉ môn toán mà còn những môn học khác cũng cần được chú trọng. Nền tảng khoa học để bổ trợ cho nhau. Hai đường thẳng song song Phần hình học của chương trình toán lớp 9 gồm các kiến thức đã có từ lớp trước. Được triển khai và chuyên sâu hơn. Nội dung về không gian, hình khối. Trung điểm, tia, đường thẳng, các phương pháp chứng minh. Để làm tốt bài tập cần nắm rõ các công thức tính toán tính diện tích, thể tích. Các điều kiện để bằng nhau, giao nhau, song song, đồng dạng. Về đường thẳng có các trạng thái, trường hợp như sau vuông góc với nhau, song song với nhau, cắt nhau và cuối cùng là trùng nhau. Xem thêm Mẫu Bảng Cân Đối Số Phát Sinh File Excel, Bảng Cân Đối Số Phát Sinh Hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’. Hai đường thẳng cắt nhau Như chúng tôi đã trình bày ở trên, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi mà tích hệ số góc của chúng bằng -1. Vậy, với chuyên đề này có những dạng toán nào. Thứ nhất, chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Học sinh chỉ cần xác định đúng hệ số góc của đường thẳng. Đây là bước học sinh dễ mắc sai lầm nhất. Cần đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát thì mới được xác định hệ số góc. Khi đã có hệ số góc của hai đường thì thực hiện tích của chúng. Nếu tích thỏa mãn bằng -1 thì chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Dạng toán thứ hai là tìm giá trị tham số để thỏa mãn hai đường thẳng vuông góc. Các bước làm cụ thể như sau Bước 1 Xác định hệ sốgóc của hai đường thẳng theo tham sốBước 2 Lập biểu thứctích hai hệ số góc bằng -1Bước 3. Giải phương trìnhchứa tham số đã lập ở bước 2Bước 4 Kết luận và kiểmtra lại bài Haidạng toán này là dạng cơ bản thường gặp. Tuy nhiên khi lên các lớp cao hơn độkhó cũng cao hơn hẳn. Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, tìm góc tronghình khong gian,… Tóm lại, mối quan hệ giữa các đường thẳng là nền tảng cơ bản cho kiến thức nâng cao hơn. Do đó, các bạn cần nắm chắc tất cả lý thuyết liên quan đến chuyên đề này. Đồng thời cố gắng vận dụng nhanh chóng và linh hoạt để nâng cao kết quả học tập. Điều hướng bài viết

để hai đường thẳng song song